Factorización

Factorización de polinomios

Es el proceso matemático que permite transformar un polinomio en el producto indicado de dos o más factores

La factorización la podemos clasificar de la siguiente manera:  

• Factor Común
• Binomios en forma de diferencia de cuadrados
• Trinomio cuadrado perfecto
• Trinomio de la forma x²+ax+b
• Por agrupación de términos semejantes

 Factorización por Factor Común:

 Podemos decir que este tipo de factorización se da en un polinómio cuando todos sus términos tienen el mismo valor, a este factor se le llama FACTOR COMÚN, que puede ser un número una o varias letras o monómios formados por números y letras

 3x³+2x²-5

Para resolver este tipo de polinómio se debe proceder de la siguiente manera:

• Se comparan todos los términos con el término mas sencillo  (5x) para determinar los factores comunes de la siguiente manera 

- El 5 no está en los otros términos, por lo tanto, no es factor común, la x está en todos los términos, por lo tanto es factor común.

• Dividimos cada término del polinomio entre el f'actor común

• El polinomio es igual al producto del factor común por la suma algebráica de estos cocientes

3x³+2x²-5=(3x²+2x-5)

 Factorización de Binomios en Forma de Diferencia de Cuadrados.

Es importante para efectuar este tipo de factorización tener conocimientos sobre la resolución de raices cuadradas y letras.

 

Cuando un binomio esta formado por una diferencia de cuadrados su factorización es igual al producto de dos paréntesis formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces.

a²-b²

Para llegar el resultado de este ejercicio procedemos de la siguiente manera:

• Se determina la raiz cuadrada de cada uno de los términos que forma el binomio
• Y la factorización es el producto de dos paréntesis con la suma y la diferencia de dichas raices  

√a² = a,    √b² = b

Suma de las raíces = (a+b)

Diferencia de las raíces = (a-b)

Factorización  = (a+b) (a-b)

Solución: a²-b² = (a+b) (a-b)

Factorización de Trinomios Cuadrados Perfecto.

Si queremos obtener un trinomio cuadrado perfecto se debe elevar al cuadrado un binomio de igual forma al realizar la operación inversa obtenemos un binomio cuadrado.

 Debemos tener presente algunas reglas prácticas para factorizar cuadrados perfectos: 

• Se ordena el trinomio con relación a unas de sus letras, y se tiene que cumplir que, el primer y tercer término tenga el mismo signo y raiz cuadrada.
• Obtenemos  las raices del primer y tercer término.
•  Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raices sea igual al segundo término
• Finalmente, dentro de un paréntesis elevado al cuadrado escribimos dichas raices separadas por el signo que tenga el segundo términos del trinimio ordenado.

Factorización de Trinomios de la Forma x²+ax+b.

Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre sí.

TRINOMIO DE LA FORMA x²+ax+b:

Los trinomios cuya forma general es x²+ax+b sean factorizables deben tener las siguientes características:

•  El coeficiente del primer término es 1.
• El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
• El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primero y en el segundo término y es una cantidad cualquiera positiva o negativa

 

Factorizar  6x² + 13x + 6:

6x² + 13x + 6 = (3x + 2)(2x + 3)

Factorizar 10x² - 11x + 3:

10x²-11x+3  =  (5x-3)(2x-1)

Factorización por Agrupación de Términos Semejantes.

ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio se realiza el siguiente procedimiento:

• Se trata de agrupar para obtener en primer lugar un factor común con monomio y como consecuencia un factor común polinomio.
• Se divide cada parte de la expresión en factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor

 

Factorizar ax + bx + aw + bw

Agrupamos (ax+bx) + (aw + bw)

Factor Común en cada Binomio: x(a + b) + w(a + b)

Factor Común Polinomio: (a + b) 

Por lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

Factorizar 2x² - 4xy + 4x - 8y

Agrupamos (2x² - 4xy) + (4x - 8y)

Factror común en cada Binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)

Factor Común Polinomio: (x - 2y) 

 Por lo tanto: 2x² - 4xy + 4x - 8y = (x-2y) (2x+4)

Operaciones Con Factores

Factorización

Producto Notable

Productos Notables

Producto Notable:

Se denominan productos notables a determinados productos que cumplen reglas fijas, por lo cual su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de efectuar la multiplicación.

Se pueden clasificar de la siguiente manera:

• Cuadrado de una Suma.
• Cuadrado de una Diferencia
• Suma por Diferencia
• Productos de la forma (x+a) (x+)
• Cubo de una suma
• Cubo de una Diferencia 
•  

Cuadrado de una Suma:

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero, mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo por el segundo al cuadrado

Formula

 (a+b)²  = a²+2ab+b²

 

(2a+3b)²  = (2a)² +2(2a)(3b)+(3b)²

  (2a+3b)²  = 4a² +12ab+9b²

Cuadrado de una Diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo término.

Formula:

 (a-b)²  = a²-2ab+b²

(a³-b³)²  = (a³)²-2(a³)(b³)+(b³)² 

(a³-b³)²  = (a³)²-2a³b³+(b³)²

Suma por Diferencia

La suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.

(a+b)(a-b)= a²-b²

 Nota: Se debe considerar como primero al término que es positivo en los dos paréntesis y como segundo al que tiene los signos + y -

(3a+b)(3a-b)= (3a)²-(b)²

(3a+b)(3a-b)= 9a²-b²

Productos de la forma (x+a) (x+b)

Podemos decir que es el producto de dos binomios que tienen un término igual en donde a y b generalmente son número

(x+a)(x+b)

 (x+a)(x+b) = x²+(a+b) x+ab

Consideraciones que se deben tener presente  para la resolución de este producto notable:

• El primer término del desarrollo es igual al cuadrado del término cumún.
• El segundo término es igual a la suma algebraica de los términos no comunes que multiplican al término común.
• El tercer término es igual al producto de los términos no comunes

(x+5)(x+2)

Según las condiciones anteriores

 Cuadrado del término común → (x)² = x²

Suma algebraica de los números por el término común → (5+2)(x) = 7x

Productos de los números → (5) (2)= 10 

(x+5)(x+2) = x²+7x+10

El cubo de la suma de dos términos.

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primero mas tres veces el cuadrado del primero por el segundo mas tres veces el primero por el cuadrado del segundo mas el cubo del segundo

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Cubo de la diferencia de dos términos.

El cubo de la diferencia de dos término es igual al cubo del primero, menos  tres veces el cuadrado del primero por el segundo mas tres veces el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo del segundo.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³